Question

15．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0），点M是线段AB上一点，点N是y轴上一点，则|PM|+|PN|+|MN|的最小值是   （　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． 6
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 点P关于y轴的对称点P′坐标是（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″（a，b），|PM|+|PN|+|MN|的最小值等于|P′P″|即可求解．

解答 解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″（a，b），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}×（-1）=-1}\\{\frac{a+2}{2}+\frac{b+0}{2}-4=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则P″（4，2）．
那么|PM|+|PN|+|MN|的最小值等于|P′P″|=$\sqrt{（4+2）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{10}$．
故选：A．

点评 本题考查了点关于直线对称的问题，两点之间的距离直线最短，利用对称性把所有点在一条直线上．属于中档题．