Question

已知椭圆的两个焦点、，直线是它的一条准线，、分别是椭圆的上、下两个顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设以原点为顶点，为焦点的抛物线为，若过点的直线与相交于不同、的两点、，求线段的中点的轨迹方程．

Answer 1

（1）（2）

解析:

（Ⅰ）设椭圆方程为==1(a＞b＞0)

由题意，得c＝1，＝4  ??  a＝2，从而b²＝3

∴椭圆的方程；

（Ⅱ）设抛物线C的方程为x²＝2py(p＞0)

由＝2  ??  p＝4

∴抛物线方程为x²＝8y

设线段MN的中点Q(x,y)，直线l的方程为y＝kx＋1

由得，（这里△≥0恒成立），

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

由韦达定理，得，，

所以中点坐标为Q，

∴x＝4k,y＝4k²＋1

消去k得Q点轨迹方程为：x²＝4(y－1)