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    设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴，离心率e=，已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

    思路解析：利用椭圆的参数方程或范围，在椭圆上找到与点P的距离为的点，使问题得以突破.

    解法一：设椭圆的参数方程为（其中a＞b＞0，0≤θ＜2π

    由e2==1-()2=,得a=2b.

    设椭圆上的点（x,y）到点P的距离为d，

    由d2=x2+(y-)2=a2cos2θ+(bsinθ-)2=-3b2(sinθ+)2+4b2+3.

    如果＞1，即b＜,

    那么当sinθ=-1时,d2取得最大值（）2=(b+)2.

    由此得b=-＞与b＜矛盾.

    因此必有≤1,此时当sinθ=-时,

    d2取得最大值()2=4b2+3，

    解得b=1,a=2.

    所求椭圆的参数方程是

    由sinθ=-,cosθ=±求得椭圆上到点P的距离等于的点是(-,-)与(,-).

    解法二：设所求椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）,

    由e2==1-()2=，解得=.

    设椭圆上的点（x,y）到点P的距离为d.

    则d2=x2+(y-)2=a2-y2+(y-)2

    =-3y2-3y+4b2+=-3(y+)2+4b2+3,其中-b≤y≤b.

    如果b＜，则当y=-b时，d2取得最大值()2=(b+)2,

    解得b=-＞与b＜矛盾,故必有b≥.

    当y=-时d2取得最大值()2=4b2+3，解得b=1,a=2,

    所求椭圆方程为+y2=1.

    由y=-可求得到点P的距离等于的点的坐标为（±，-）.

    方法归纳

        与椭圆有关的最值问题，常考虑利用参数方程，或转化为二次函数利用椭圆的范围求解，还可以考虑几何法，特别是直线与椭圆，在相切时取得最值.

    练习册系列答案
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    		7
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    科目：高中数学 来源：2012年人教A版高中数学选修1-1 2.1椭圆练习卷（解析版） 题型：解答题

    设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程。

     

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