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    如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

    （1）求椭圆和双曲线的标准方程

    （2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1

    （3）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？

    若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

     

    【答案】

    （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，得，，所以所以椭圆的标准方程为；  ……2

    所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

    所以该双曲线的标准方程为。        …………4

    （Ⅱ）设点P（，），=，=，∴=…6

    点P（，）在双上，有，即，∴=1  ……8

    （Ⅲ）假设存在常数，使得恒成立，则由（Ⅱ）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

    由方程组消y得：，设，，

    则由韦达定理得：     ……………9

    所以|AB|==，同理可得     ……………10

    |CD|===，  …………11

    又因为，

    所以有=+=，

    所以存在常数，成立。 

    【解析】略

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分12分）

    如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

    （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

    （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分13分）

      如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的

      左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭

      圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点

      分别 为和

       （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； 

       （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

       （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？

          若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

                                                                 

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    科目：高中数学 来源：2012届山西大学附中高三4月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

    （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

    （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2013届广东省高二下期中文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆的离心率为，且经过点平行于的直线在轴上的截距为，与椭圆有A、B两个

    不同的交点

       （Ⅰ） 求椭圆的方程；

        (Ⅱ)  求的取值范围；                              

       （III）求证:直线、与轴始终围成一个等腰三角形．

     

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    科目：高中数学 来源：2013届度黑龙江龙东地区第一学期高二期末理科数学试卷 题型：解答题

    如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程

    （Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1

    （Ⅲ）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

     

     

     

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