Question

已知a₁，a₂，a₃，a₄是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则q=

 

．

Answer 1

分析：若删去第一项，则 a₁q，a₁q²，a₁q³  成等差数列，2a₁q²=a₁q+a₁q³，解得 q的值．
若删去第二项，则 a₁，a₁q²，a₁q³  成等差数列，2a₁q²=a₁+a₁q³，解得 q的值．
若删去第三项，则 a₁，a₁q，a₁q³ 成等差数列，2a₁q=a₁+a₁q³，解得 q的值．
若删去第四项，则a₁，a₁q，a₁q²，成等差数列，2a₁q=a₁+a₁q²，解得 q的值．

解答：解：由题意可得，这4项即 a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，若删去第一项，
则 a₁q，a₁q²，a₁q³  成等差数列，2a₁q²=a₁q+a₁q³，故 q=1（舍去），或q=0（舍去）．
若删去第二项，则 a₁，a₁q²，a₁q³  成等差数列，
可得 2a₁q²=a₁+a₁q³，q=1 （舍去），或q=

1+ 5

2

，或q=

1- 5

2

（舍去）．
若删去第三项，则 a₁，a₁q，a₁q³ 成等差数列，
2a₁q=a₁+a₁q³，q=

-1+ 5

2

，或 q=

-1- 5

2

（舍去），或q=1（舍去）．
若删去第四项，则a₁，a₁q，a₁q²，成等差数列，2a₁q=a₁+a₁q²，q=1（舍去），
故答案为

-1+ 5

2

 或

1+ 5

2

．

点评：本题考查等比数列的定义和通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论，是解题的关键．