Question

17．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a、b、c，若c、a、b成等差数列，则角A的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 由已知a，b，c成等差数列结合正弦定理可得，2sinB=sinA+sinC利用和差化积公式可得，2sinA=2sin$\frac{B-C}{2}$，再利用半角公式及诱导进行化简，然后结合三角函数的性质即可得解．

解答 解：∵c，a，b成等差数列2a=b+c，
由正弦定理可得，2sinA=sinB+sinC，
则2sinA=2sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=sin$\frac{π-A}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴2sin$\frac{A}{2}$=cos$\frac{B-C}{2}$，
∵-1≤cos$\frac{B-C}{2}$≤1且sin$\frac{A}{2}$＞0，
从而可得，0＜sin$\frac{A}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{A}{2}$≤$\frac{π}{6}$，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$．
故答案为：（0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC的应用，和差角公式的变形及诱导公式的应用，属于中档题．