Question

15．已知不等式（ax+3）（x²-b）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为{-2，8}．

Answer 1

分析 对b分类讨论，当b≤0 时，由（ax+3）（x²-b）≤0得到ax+3≤0，由一次函数的图象知不存在；当b＞0 时，由（ax+3）（x²-b）≤0，利用数学结合的思想得出a，b的整数解．

解答 解：当b≤0 时，由（ax+3）（x²-b）≤0得到ax+3≤0 在x∈（0，+∞） 上恒成立，则a不存在；
当b＞0 时，由（ax+3）（x²-b）≤0，可设f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，又g（x） 的大致图象如下，那么由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-\frac{3}{a}=\sqrt{b}\end{array}\right.$ 再由a，b 是整数得到$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=9\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=1\end{array}\right.$ 因此a+b=8或-2．
故答案为{-2，8}

点评 考查了对参数的讨论问题和利用数形结合的思想解决实际问题．