Question

【题目】已知函数 ， 则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有（　　）个．
A.6个
B.4个
C.7个
D.8个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函数 ， ，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=﹣3或x=时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]﹣a=0，则：
f（x）=﹣3，此时方程有2个根，或f（x）= ， 此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：
f（x）∈（﹣4，﹣3），此时方程有1个根，或f（x）∈（﹣3，﹣2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（0，），或f（x）∈（ ， +∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．