Question

【题目】已知函数 (为常数， 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，讨论函数在区间上极值点的个数；

（Ⅱ）当， 时，对任意的都有成立，求正实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）第一步求函数的导数，第二步再设，并且求以及时， ，分析函数的单调性，得到函数的取值范围，并且根据 ，讨论和函数的极值以及端点值的大小关系，得到函数的极值点的个数；（Ⅱ）不等式等价于 ，求的最大值小于的最小值，即求得的取得范围.

试题解析：（Ⅰ） 时， ，记，

则， ，

当时， ， 时， ，

所以当时， 取得极小值，又， ，

，所以

（ⅰ）当,即时， ，函数在区间上无极值点；

（ⅱ）当即时， 有两不同解，

函数在区间上有两个极值点；

（ⅲ）当即时， 有一解，

函数在区间上有一个极值点；

（ⅳ）当即时， ，函数在区间上

无极值点；

（Ⅱ）当时，对任意的都有，

即，即

记， ，

由，当时， 时， ，

所以当时， 取得最大值，

又，当时， 时， ，

所以当时， 取得最小值，

所以只需要 ，即正实数的取值范围是．