Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：x+y+m=0与抛物线交于A、B两点．
（1）若m=-1，求弦AB的长；
（2）若P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是抛物线C上的三点，且直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，求证：x₂、x₁、x₃成等差数列；
（3）在抛物线C上是否存在一个定点P，使得直线PA、PB的斜率互为相反数，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将直线l：x+y-1=0与抛物线方程联立，消元可得y²+4y-4=0，由此可求弦AB的长；
（2）直线PQ、QR、RP的斜率分别为

y2-y1

x2-x1

，

y3-y2

x3-x2

，

y3-y1

x3-x1

，利用直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，建立方程，利用P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是抛物线C上的三点可得y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3，将它们分别相减，整理可得

y2-y1

x2-x1

=

4

y2+y1

，

y3-y2

x3-x2

=

4

y3+y2

，

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

，从而可知x₂、x₁、x₃成等差数列；
（3）设存在一个定点P（x₁，y₁），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x₂，y₂）、B（x₃，y₃），则直线PA、PB的斜率分别为：

y2-y1

x2-x1

，

y3-y1

x3-x1

，从而可得2y₁+y₂+y₃=0，进而可得存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．

解答：（1）解：将直线l：x+y-1=0与抛物线方程联立，消元可得y²+4y-4=0
∴y=-2+2

2

或-2-2

2

，∴x=3-2

2

或3+2

2

∴弦AB的长为

32+32

=8
（2）证明：直线PQ、QR、RP的斜率分别为

y2-y1

x2-x1

，

y3-y2

x3-x2

，

y3-y1

x3-x1

∵直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列
∴2×

y3-y2

x3-x2

=

y2-y1

x2-x1

+

y3-y1

x3-x1

∵P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是抛物线C上的三点
∴y12=4x1，y22=4x2，y32=4x3
将它们分别相减，整理可得

y2-y1

x2-x1

=

4

y2+y1

，

y3-y2

x3-x2

=

4

y3+y2

，

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

∴2×

4

y3+y2

=

4

y2+y1

+

4

y3+y1

∴y12-y32=y22-y12
∴4x₁-4x₃=4x₂-4x₁
∴x₁-x₃=x₂-x₁
∴x₂、x₁、x₃成等差数列；
（3）解：设存在一个定点P（x₁，y₁），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x₂，y₂）、B（x₃，y₃），则
直线PA、PB的斜率分别为：

y2-y1

x2-x1

，

y3-y1

x3-x1

∴

y2-y1

x2-x1

+

y3-y1

x3-x1

=0
∴

4

y2+y1

+

4

y3+y1

=0
∴2y₁+y₂+y₃=0
由（1）知，y₂+y₃=-4，∴2y₁-4=0，∴y₁=2，∴x₁=1
∴存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．