Question

1．已知函数$f（x）=2-3\sqrt{x}$ x∈[1，2）
（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；
（2）求函数$f（x）=2-3\sqrt{x}$在x∈[1，2）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义进行判断和证明即可．
（2）根据函数单调性和值域之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）判断：$f（x）=2-3\sqrt{x}$在上是单调递减的函数                             …（2分）
证明：在x∈[1，2）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=（2-3$\sqrt{{x}_{1}}$）-（2-3$\sqrt{{x}_{2}}$）=3$\sqrt{{x}_{2}}$-3$\sqrt{{x}_{1}}$=3×$\frac{（\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}）（\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}）}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}}$…（5分）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
又∵$\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}＞0$…（6分）
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0…（7分），
∴$f（x）=2-3\sqrt{x}$在[1，2）上为减函数．…（8分）
（2）∵$f（x）=2-3\sqrt{x}$在[1，2）上为减函数．
当x∈[1，2）时，f（x）∈（2-3$\sqrt{2}$，-1]，
∴函数f（x）的值域为（2-3$\sqrt{2}$，-1]．…（12分）

点评 本题主要考查函数单调性的判断和证明以及函数值域的求解，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．