Question

14．函数f（x）的定义域为（-2，+∞），部分对应值如表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则$\frac{b+2}{a+2}$的取值范围是（$\frac{1}{2}$，3）

x	-1	0	4
f（x）	1	-1	1

Answer 1

分析 由导数图象可知当-2＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．利用函数的单调性进行求解．对于可行域不要求线性目标函数的最值，而$\frac{b+2}{a+2}$ 是求可行域内的点与定点（-2，-2）构成的直线的斜率问题．由图象可得结论

解答 解：由表格可得f（-1）=f（4）=1．
由导数图象可知当-2＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．
若正数a，b满足f（2a+b）＜1，
则f（2a+b）＜f（4），
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{2a+b＜4}\end{array}\right.$，作出不等式组对应的平面区域如图：几何意义表示为动点Q（a，b）到定点P（-2，-2）点的斜率的取值范围．
由题意知A（0，4），B（2，0），
所以AP的斜率为$\frac{4-（-2）}{0-（-2）}$=3，
BP的斜率为$\frac{0-（-2）}{2-（-2）}$=$\frac{1}{2}$，
所以则k=$\frac{b+2}{a+2}$的取值范围是（$\frac{1}{2}$，3）
故答案为：（$\frac{1}{2}$，3）

点评 本题主要考查了导数的应用，直线的斜率以及简单的线性规划问题，涉及的知识点较多，综合性较强．