Question

3．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点作一直线交椭圆于E，F两点，线段|EF|长的最大值与最小值分别是$4\sqrt{2}，2\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）与圆（x-1）²+y²=1相切的直线l：y=kx+1与椭圆交于M，N两点，若椭圆上一点C满足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，根据椭圆的定义及性质求其方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，找出k与t的关系，消去k．
再利用椭圆上一点C满足$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$，建立关系，求实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由题意，过焦点作一直线交椭圆于E，F两点，线段|EF|长的最大值是2a，即2a=$4\sqrt{2}$，最小值时通经，即$\frac{2{b}^{2}}{a}=2\sqrt{2}$
联立：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\sqrt{2}，\;\;\\ \frac{{2{b^2}}}{a}=2\sqrt{2}，\;\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{2}，\;\;\\ b=2，\;\;\end{array}\right.$
所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线l：y=kx+t与圆（x-1）²+y²=1相切，圆心到直线的距离等于半径，所以：$\frac{|k+t|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1⇒{t^2}+2kt-1=0，\;\;∴k=\frac{{1-{t^2}}}{2t}$…①．
∵y=kx+1与椭圆交于M，N两点：
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t，\;\;\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+4ktx+2{t^2}-8=0$，
所以：${x_1}+{x_2}=-\frac{4kt}{{1+2{k^2}}}，\;\;{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{{1+2{k^2}}}$，
又∵$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OC}$，
∴$C（{\frac{-4kt}{{（1+2{k^2}）λ}}，\;\;\frac{2t}{{（1+2{k^2}）λ}}}）$，
将点C代入椭圆方程并化简得${λ^2}=\frac{t^2}{{1+2{k^2}}}$…②
①代入②得${λ^2}=\frac{{2{t^4}}}{{1+{t^4}}}＜2$，解得$λ∈（-\sqrt{2}，\;\;0）∪（0，\;\;\sqrt{2}）$．
故实数λ的取值范围是：$（-\sqrt{2}，0）∪（0，\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了椭圆方程的性质求椭圆方程，以及圆，椭圆与直线的关系．设而不求，利用向量坐标建立关系是本题的关键．同时考查了化简能力和计算能力．属于中档题．