Question

11．在直角坐标系中xOy中，直线l经过点M（1，0）且倾斜角为α．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin²θ-4cosθ=0，直线l与曲线C交于不同两点A，B．
（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M作于直线l垂直的直线l′与曲线C交于点M，N，求四边形AMBN的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直线参数方程的几何意义得出直线l的参数方程，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程；
（2）把参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义和根与系数的关系得出|AB|，同理得出|MN|，代入面积公式得出面积根与α的函数，根据三角函数的性质得出面积的最小值．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是参数）．
∵ρsin²θ-4cosθ=0，∴ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为y²-4x=0，即y²=4x．
（2）把直线l的参数方程代入y²=4x得t²sin²α-4tcosα-4=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{4}{si{n}^{2}α}$．
∴|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16co{s}^{2}α}{si{n}^{4}α}+\frac{16}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}α}$．
∵直线l′⊥l，故直线l′的倾斜角为|$α±\frac{π}{2}$|，
把α换成|$α±\frac{π}{2}$|得出|MN|=$\frac{4}{co{s}^{2}α}$．
∴四边形AMBN的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|MN|=$\frac{8}{si{n}^{2}αco{s}^{2}β}$=$\frac{32}{si{n}^{2}2α}$．
∴当sin²2α=1即α=45°或135°时，四边形AMBN的面积S取得最小值32．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．