Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD中点．

（Ⅰ）求证：CE∥平面AMD；
（Ⅱ）点E在线段DB上，且$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{EB}$，求三棱锥M-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点F，连接EF，MF，CE，证明四边形EFMC是平行四边形得出CE∥MF，故而CE∥平面AMD；
（2）E为DB的中点，故V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{2}$V_B-ADM，证明BM⊥平面ADM，于是V_M-ADE=$\frac{1}{6}$S_△ADM•BM．

解答 证明：（1）取AD的中点F，连接EF，MF，CE，则EF∥AB且EF=$\frac{1}{2}$AB．
又MC∥AB且MC=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF∥MC，EF=MC，
∴四边形EFMC是平行四边形，
∴CE∥MF，
又CE?平面ADM，MF?平面ADM，
∴CE∥平面ADM．
（2）∵AD=DM=CM=BC=1，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AM²+BM²=AB²，即AM⊥BM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∴V_B-ADM=$\frac{1}{3}$S_△ADM•BM=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{EB}$，∴E为DB的中点，
∴V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{2}$V_B-ADM=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．