Question

已知f（x）=2sin（2x+）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．

Answer 1

解：（1）由2kπ-≤2x+≤2kπ+得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
所以，递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，]，
∴≤2x+≤，
∴2sin（2x+）的最大值为2，
∵f（x）=2sin（2x+）+a+1在∈[0，]的最大值为4，
∴a+3=4，
∴a=1．
（3）∵2x+=2kπ+，
∴x=kπ+（k∈Z），
∴f（x）取最大值时x的集合{x|x=kπ+，k∈Z}．
分析：（1）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，即可求得f（x）的递增区间；
（2）由x∈[0，]，可求得≤2x+≤，从而可求得）2sin（2x+）的最大值，再由f（x）的最大值为4可求a的值；
（3）由2x+=2kπ+即可求出使f（x）取最大值时x的集合．
点评：本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．