Question

【题目】设，函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和是函数的两个不同的零点，求的值并证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①当时，函数的递增区间为，无极值，②当时，函数的递增区间为，递减区间是，函数的极大值为；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题（Ⅰ）分别令及分情况讨论；（Ⅱ）由已知得，由（Ⅰ）函数在递减及，，可知函数在区间有唯一零点，由此得证.

试题解析：（Ⅰ）由已知得，，

①若，则，是区间上的增函数，无极值；

②若，令，得，

在区间上，，函数是增函数，

在区间上，，函数是减函数，

所以在区间上，的极大值为．

综上所述，①当时，函数的递增区间为，无极值；②当时，函数的递增区间为，递减区间是，函数的极大值为．

（Ⅱ）因为，所以，解得，所以，

又，，所以，

由（Ⅰ）函数在递减，故函数在区间有唯一零点，因此．