Question

【题目】如图所示，四边形为菱形，，二面角为直二面角，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）设点是棱的中点，连接，根据面面垂直的性质定理，得到平面，进而得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可求解；

（Ⅱ）解法一：设点是与的交点，证得为二面角的平面角，结合解三角形的知识，即可求解；解法二：设点是与的交点，以所在直线为轴所在直线为轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

（Ⅰ）如图所示，设点是棱的中点，连接，

由及点是棱的中点，可得，

又二面角为直二面角，故平面，

又因为平面，所以，

又因为四边形为菱形，所以，

而是的中位线，所以，可得，

又由，且平面，平面，

所以平面， 又因为平面，

所以．

（Ⅱ）解法一：设点是与的交点，

由（Ⅰ）可知平面，

又均在平面内，从而有，

故为二面角的平面角，

因为，所以为等边三角形．

不妨设菱形的边长为．

则在中，，

于是

在中，，

故，

整理得，．

因为平面，所以为直线与平面所成的角．

则，

所以直线与平面所成的角为.

解法二：设点是与的交点，

以所在直线为轴所在直线为轴，

过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系．

设，则，，

则，

设平面的法向量为，

则，即，

取，得的一个法向量为，

则，解得，

则，，

则，

则直线与平面所成的角为．