【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异“.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为( )
A.πB.
πC.4
D.
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【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的点,直线
与
(
为坐标原点)的斜率之积为
.若动点
满足
,试探究是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】(本题满分12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或
袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(Ⅰ)求小球落入袋中的概率
;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入4个小球,记为落入
袋中小球的个数,试求
的概率和
的数学期望
.
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【题目】已知:在函数的图象上,以
为切点的切线的倾斜角为
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)是否存在最小的正整数,使得不等式
对于
恒成立?如果存在,请求出最小的正整数
;如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求证:(
,
).
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【题目】中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史,创造了博大精深的中华文化,为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化,某校组织了国学知识大赛,该校最终有四名选手、
、
、
参加了总决赛,总决赛设置了一、二、三等奖各一个,无并列.比赛结束后,
对
说:“你没有获得一等奖”,
对
说:“你获得了二等奖”;
对大家说:“我未获得三等奖”,
对
、
、
说:“你妈三人中有一人未获奖”,四位选手中仅有一人撒谎,则选手获奖情形共计__________种.(用数字作答)
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【题目】对于函数,若存在区间
,使得
,则称函数
为“可等域函数”,区间A为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①
;②
;③
;④
.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
是菱形,
,
,
是
上任意一点。
(1)求证:;
(2)当面积的最小值是9时,在线段
上是否存在点
,使
与平面
所成角的正切值为2?若存在?求出
的值,若不存在,请说明理由
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【题目】设个不全相等的正数
,
,…,
依次围成一个圆圈.
(Ⅰ)设,且
,
,
,…,
是公差为
的等差数列,而
,
,
,…,
是公比为
的等比数列,数列
,
,…,
的前
项和
满足
,
,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设,
,若数列
,
,…,
每项是其左右相邻两数平方的等比中项,求
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,,求符合条件的
的个数.
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