【题目】已知:在函数的图象上,以
为切点的切线的倾斜角为
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)是否存在最小的正整数,使得不等式
对于
恒成立?如果存在,请求出最小的正整数
;如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求证:(
,
).
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)存在最小的正整数,使得不等式
对于
恒成立.
(Ⅲ)(
,
).
【解析】
试题分析:(Ⅰ) ,依题意,得
,即
,
.
2分
∵ , ∴
. 3分
(Ⅱ)令,得
. 4分
当时,
;
当时,
;
当时,
.
又,
,
,
.
因此,当时,
. 7分
要使得不等式对于
恒成立,则
.
所以,存在最小的正整数,使得不等式
对于
恒成立. 9分
(Ⅲ)方法一:
. 11分
又∵ ,∴
,
.
∴
. 13分
综上可得,(
,/span>
). 14分
方法二:由(Ⅱ)知,函数在 [-1,
]上是增函数;在[
,
]上是减函数;在[
,1]上是增函数.
又,
,
,
.
所以,当x∈[-1,1]时,,即
.
∵ ,
∈[-1,1],∴
,
.
∴ . 11分
又∵,∴
,且函数
在
上是增函数.
∴ . 13分
综上可得,(
,
). 14分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家,国人欢欣鼓舞。某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了程度,结果如下:
阅读过莫言的作品数(篇) | 0~25 | 26~50 | 51~75 | 76~100 | 101~130 |
男生 | 3 | 6 | 11 | 18 | 12 |
女生 | 4 | 8 | 13 | 15 | 10 |
(1)试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率.
(2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”,根据题意完成下表,并判断能否有的把握认为“对莫言作品的非常了解”与性别有关?
非常了解 | 一般了解 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
注:K2=
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异“.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为( )
A.πB.
πC.4
D.
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【题目】2019年高考前夕某地天空出现了一朵点赞云,为了将这朵祥云送给马上升高三的各位学子,现以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数),曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程:
(2)点为曲线
上任意一点,点
为曲线
上任意一点,求
的最小值。
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