Question

【题目】已知，，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求单调区间；

（Ⅲ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.（Ⅲ）.

【解析】试题分析：求导，算出的值，即可求出 (2)表示出，求导分类当时、当时、当时、当时的单调区间 (3)求出二阶导数，讨论、、时的情况，求出结果

解析：（Ⅰ）因为，

所以，得，.

（Ⅱ）由题意知，

所以 ，

当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递降，

当时，，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，

当时，，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，

当时，在上恒成立，

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递降，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增.

（Ⅲ），

因为，

令，

有，

当时，有，此时函数在上单调递增，

则，

（i）若即时，在上单调递增，

则恒成立；

（ii）若即时，则在存在，

此时函数在上单调递减，上单调递增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

当时，有，则在存在，上单调递减，在上单调递增，所以在上先减后增，

又，则函数在上先减后增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为.