【题目】设个不全相等的正数
,
,…,
依次围成一个圆圈.
(Ⅰ)设,且
,
,
,…,
是公差为
的等差数列,而
,
,
,…,
是公比为
的等比数列,数列
,
,…,
的前
项和
满足
,
,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设,
,若数列
,
,…,
每项是其左右相邻两数平方的等比中项,求
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,,求符合条件的
的个数.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:利用
,
,
,…,
是公比为
的等比数列,求出
,又
,解得
,可得数列
的通项公式;
确定出
,依次类推
猜想,
,
,一共有
个,再利用反证法进行证明即可
解析:(Ⅰ)因,
,
,…,
是公比为
的等比数列,
从而,
,由
得
,
故解得或
(舍去).因此
,又
,解得
.
从而当时,
,
当时,由
,
,
,…,
是公比为
的等比数列得
.
因此.
(Ⅱ)由题意,
,
,∴
,
得,
,
,
,
,
.
(Ⅲ)猜想:,
,一共有336个.
证明:,
,
得
.
又
,④
故有,
. ⑤
若猜想不成立,设,其中
,
若取即
,则由此得
,
而由③得,故
,得
,由②得
,从而
,
而,故
,由此推得
与题设矛盾,
同理若均可得
与题设矛盾,因此
为6的倍数.
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【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异“.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为( )
A.πB.
πC.4
D.
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【题目】已知焦点为的的抛物线
:
(
)与圆心在坐标原点
,半径为
的
交于
,
两点,且
,
,其中
,
,
均为正实数.
(1)求抛物线及
的方程;
(2)设点为劣弧
上任意一点,过
作
的切线交抛物线
于
,
两点,过
,的直线
,
均于抛物线
相切,且两直线交于点
,求点
的轨迹方程.
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【题目】已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6.若μ=4,σ=1,则P(5<X<6)=( )
A. 0.135 9 B. 0.135 8 C. 0.271 8 D. 0.271 6;
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【题目】已知函数的导函数为
,且对任意的实数
都有
(
是自然对数的底数),且
,若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数,则实数
的取值范围是
A. B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
过坐标原点
且圆心在曲线
上.
(1)若圆分别与
轴、
轴交于点
(不同于原点
),求证:
的面积为定值;
(2)设直线与圆
交于不同的两点
,且
,求圆
的方程;
(3)点在直线
上,过点
引圆
(题(2))的两条切线
,切点为
,求证:直线
恒过定点.
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=(x﹣1)2﹣1的图象如图所示,
(1)请补全函数f(x)的图象并写出它的单调区间.
(2)根据图形写出函数f(x)的解析式.
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