Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线 上．

（1）若圆分别与轴、轴交于点（不同于原点），求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于不同的两点，且，求圆的方程；

（3）点在直线上，过点引圆（题（2））的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解

（2）

（3）证明见详解

【解析】

（1）设出圆的圆心，写出圆的标准方程，求出两点，再计算的面积。

（2）由题意知为的中垂线，即可得到直线，即可求出圆心。

（3）设出点，写出以点为圆心切线长为半径的圆的方程，利用圆-圆,即可求出直线的方程，再说明其过定点。

（1）证明：设圆的圆心为，则半径 ，

所以圆的标准方程为，

则、，

所以的面积

所以的面积为定值。

（2）因为，即O在线段的中垂线上，又圆心在线段的中垂线上，

所以为的中垂线，又

所以，直线为，联立解得，舍

所以，

即圆的标准方程为

（3）证明：设点,则圆心到点的距离

切线长 ，

即以点为圆心，切线长为半径的圆为

则圆与圆的相交弦直线为

化简得

即过定点