Question

【题目】已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，若四边形的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由，所以，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含左右顶点）.再由得得出点A的坐标与点M的坐标的关系，可求得点的轨迹的方程；

（2）分直线的斜率不存在时和直线的斜率存在时两种情况分别求解，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，直线的方程为与曲线E的方程联立求得边，，，再由平行线间的距离可得平行四边形的面积，可得解.

（1）由已知，得，所以，点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含左右顶点）.

因为，，，所以，，，

所以，点的轨迹方程为.

设，.由得，，又.

故，点的轨迹的方程为，即.

（2）由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求得，，

，.这时，四边形的面积为，不符合要求.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，

则直线的方程为

由消去得，

设，，则，.

故，，

又，两条平行直线，间的距离.

由椭圆的对称性知：四边形为平行四边形，其面积，

解得，或.

故，直线的方程为或.