Question

已知数列{a_n}，{b_n}，其中数列{b_n}是首项为2公比为

1

2

的等比数列，又bn=

a1            n=1 an-an-1   n≥2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整数m，n的值．

Answer 1

分析：（1）bn=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2，a₁=b₁=2，an-an-1=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=-2(

1

2

)n-1+2，故an=4-2(

1

2

)n-1=4-(

1

2

)n-2．
（2）

an-m

an+1-m

＜

2

3

?

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

?1-

m

4

＜(

1

2

)n-1＜4-m1-

m

4

＜4-m?m＜4，再分类讨论能够求出

m=1 n=1

或

m=2 n=1

或

m=3 n=2

．

解答：解：（1）bn=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2a₁=b₁=2
当n≥2时，a₂-a₁=1

a3-a2= 1 2 a4-a3=( 1 2 )2 … an-an-1=( 1 2 )n-2

an-a1=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=-2(

1

2

)n-1+2
∴an=4-2(

1

2

)n-1=4-(

1

2

)n-2；
（2）

an-m

an+1-m

＜

2

3

?

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

?1-

m

4

＜(

1

2

)n-1＜4-m
∴1-

m

4

＜4-m?m＜4
当m=1时，

3

4

＜(

1

2

)n-1＜3?n=1；
当m=2时，

1

2

＜(

1

2

)n-1＜2?n=1；
当m=3时，

1

4

＜(

1

2

)n-1＜1?n=2．
∴

m=1 n=1

或

m=2 n=1

或

m=3 n=2

．

点评：本题考查数列的不等式的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．