Question

已知：的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．
（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程C_n+C_n¹+C_n²=79，解可得n的值，由二项式系数的性质可得其展开式二项式系数之和，在（+2x）¹²中，令x=1可得其展开式的系数之和；
（2）根据题意，假设T_k+1项的系数最大，T_k+1项的系数为r_k，则有，代入数据，解可得k=10，即展开式中系数最大的项为T₁₁，计算可得T₁₁的值，即可得答案．
解答：解：（1）根据题意，的二项展开式的通项为T_r+1=2^r•C_n^r•（）^n-r•x^r，
由其二项展开式前三项的二项式系数和等于79，则C_n+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
则其展开式二项式系数之和为2¹²=4096，
令x=1，可得（+2）¹²=（）¹²，即其展开式的系数之和（）¹²，
（2）设T_k+1项的系数最大．
∵（+2x）¹²=（）¹²（1+4x）¹²，
∴
∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T₁₁．
T₁₁=（）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展开式中系数最大的项16896x¹⁰．
点评：本题考查二项式定理的应用，涉及二项展开式中二项式系数和与系数和问题，容易出错．要正确区分这两个概念．