Question

【题目】已知椭圆E：的离心率为，且过点

求椭圆E的方程；

设直线与椭圆E交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点且C、D在A、B之间或同时在A、B之外问：是否存在定值k，使得的面积与的面积总相等，若存在，求k的值，并求出实数m取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定值，实数m取值范围为．

【解析】

由椭圆E：的离心率为，且过点列式计算出a，b即可．

联立直线与椭圆方程，消去y得，通过得设，，利用韦达定理求出，由题意，不妨设设，，通过的面积与的面积总相等转化为线段AB的中点与线段CD的中点重合，求出k，即可得到结果．

依题意可得，

椭圆方程为：；

联立，消去y，可得，

，

由，可得，

设，，则，

由题意可设，，

的面积与的面积相等恒成立

线段AB的中点和线段CD中点重合．

即有，解得，

由且，可得或．

即存在定值，都有的面积与的面积相等．

此时，实数m取值范围为．