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    （09年青岛质检理）（12分）

    在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

    (Ⅰ)当时，求证：；

    (Ⅱ) 若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

     解析:(Ⅰ)当时，底面为正方形，

    又因为,面…………………………2分

    又面

    …………………………3分

    (Ⅱ) 因为两两垂直，分别以它们所在直线

    为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，

    则…………………4分

    设，则

    要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点使得

    当且仅当，即时，

    边上有且只有一个点，使得

    由此可知…………………………8分

    设面的法向量

    则即解得…………………………10分

    取平面的法向量

    则的大小与二面角的大小相等

    所以

    因此二面角的余弦值为…………………………12分

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