【题目】已知函数.
Ⅰ若时,求函数的单调区间;
Ⅱ若,则当时,记的最小值为M,的最大值为N,判断M与N的大小关系,并写出判断过程.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ),证明见解析.
【解析】
Ⅰ求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间即可;
Ⅱ令,讨论m的范围,根据函数的单调性求出的最大值和的最小值,结合函数恒成立分别判断即可证明结论.
解:Ⅰ函数定义域为R,分
当,即时,,此时在R递增,
当即,
时,,递增,
时,,递减,
时,,递增;
,即时,
和,,递增,
时,,递减;
综上所述,时,在R递增,
时,在,递增,在递减,
时,在,递增,在递减;
Ⅱ,
当时,由知在递增,在递减,
,
当时,函数单调递减,
所以其最小值为,最大值为,
所以下面判断与的大小,
即判断与的大小,其中,
令,,
令,则,
因,所以,单调递增;
所以,,
故存在使得,
所以在上单调递减,在单调递增
所以,
所以时,,
即也即.
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【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
① ②是等边三角形 ③AB与平面BCD所成的角是 ④AB与CD所成角为,其中错误的结论个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】对于任意的,若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质”.①;②存在实数使得.
(1)数列中,,判断是否具有“性质”.
(2)若各项为正数的等比数列的前项和为,且,证明:数列具有“性质”,并指出的取值范围.
(3)若数列的通项公式,对于任意的,数列具有“性质”,且对满足条件的的最小值,求整数的值.
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【题目】已知平面上的三点 、 、 .
(1)求以 、 为焦点且过点 的椭圆的标准方程;
(2)设点 、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ,求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
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【题目】
已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,其渐近线方程是,双曲线过点
(1)求双曲线方程
(2)动直线经过的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线,使G平分线段MN,证明你的结论
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】如图所示,在三棱锥P–ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为
A.B.C.D.
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