Question

如图，在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：四点B、C、F、G共面；
（Ⅱ）求平面ADGC与平面BCGF所组成的二面角余弦值；
（Ⅲ） 求多面体ABC-DEFG的体积．

Answer 1

分析：解法一（I）由AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，写出要用的点的坐标，要证明的四点共面中的两条线平行，根据共面的判定得到结论．
（II）要求两个平面的夹角，只要写出两个平面的法向量，根据法向量所成的角来解题，本题所给的两个平面，有一个法向量可以直接由题意得到，而另一个需要根据向量垂直做出结果．
（III）设DG的中点为M，连接AM、FM，则V_{多面体ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}，把一个不规则几何体的体积转化成两个三棱柱的体积之和，做出三棱柱的体积相加即可．
解法二（I）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，根据一组对边平行且相等，即AC∥MG，且AC=MG，即四边形ACGM是平行四边形，得到结论．
（II）根据做两个平面所成的角的方法，先做出角，在证明角，最后求出角，这样根据在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则∠MNF是所求二面角的平面角，后面求出角的大小即可．
（III）连接AM、FM，则V_{多面体ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}，把一个不规则几何体的体积转化成两个三棱柱的体积之和，做出三棱柱的体积相加即可．

解答：解法一   向量法
由 AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
（1）

BF

=(2，1，0)-(2，0，2)=(0，1，-2)

CG

=(0，2，0)-(0，1，2)=(0，1，-2)
∴

BF

=

CG

，即四边形BCGF是平行四边形．
故四点B、C、F、G共面．…（4分）

（2）

FG

=(0，2，0)-(2，1，0)=(-2，1，0)，
设平面BCGF的法向量为

n1

=(x，y，z)，
则

n1 • CG =y-2z=0 n1 • FG =-2x+y=0

，
令y=2，则

n1

=(1，2，1)，
而平面ADGC的法向量

n2

=(1，0，0)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1×1

12+22+12 × 12+02+02

=

6

6

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为

6

6

．…（8分）
（3）设DG的中点为M，连接AM、FM，则V_{多面体ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}
=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．…（12分）
解法二    （1）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF∥AM，且BF=AM
又∵M为DG的中点，DG=2，AC=1，面ABC∥面DEFG
∴AC∥MG，且AC=MG，即四边形ACGM是平行四边形
∴GC∥AM，且GC=AM
故GC∥BF，且GC=BF，
即四点B、C、F、G共面…（4分）

（2）∵四边形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG
∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，
∵MF∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则
显然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1
∴CD=CG=

5

，∴cos∠DGC=

GC2+GD2-CD2

2×GC×GD

=

5+4-5

2× 5 ×2

=

5

5

∴sin∠DGC=

2 5

5

，∴MN=MG•sin∠DGC=

2 5

5

在直角三角形MNF中，MF=2，MN=

2 5

5

∴tan∠MNF=

MF

MN

=

2

2 5 5

=

5

，cos∠MNF=

6

6

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为

6

6

…（8分）

（3）V_{多面体ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．…（12分）

点评：本题以不规则几何体为载体，考查空间线面关系的判断与证明，空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：由正方体、正四棱柱等规则几何体的考查向不规则几何体过渡，但仍坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意．