Question

一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若g（x）在（1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）是R上的增函数，设f（x）=ax+b，（a＞0），利用f[f（x）]=16x+5，可得方程组，求出a，b，即可求f（x）；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，利用二次函数的性质，结合函数在（1，+∞）单调递增，可求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对二次函数的对称轴，结合区间分类讨论，利用当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，即可求实数m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的增函数，∴设f（x）=ax+b，（a＞0）---------------------（1分）
∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5
∴

a2=16 ab+b=5

，---------------------------------（3分）
解得

a=4 b=1

或

a=-4 b=- 5 3

（不合题意舍去）---------------------------------（5分）
∴f（x）=4x+1---------------------------------（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m---------------（7分）
对称轴x=-

4m+1

8

，根据题意可得-

4m+1

8

≤1，---------------------------------（8分）
解得m≥-

9

4

∴m的取值范围为[-

9

4

，+∞)---------------------------------（9分）
（Ⅲ）①当-

4m+1

8

≤1时，即m≥-

9

4

时g（x）_max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合题意；（11分）
②当-

4m+1

8

＞1时，即m＜-

9

4

时g（x）_max=g（-1）=3-3m=13，解得m=-

10

3

，符合题意；（13分）
由①②可得m=-2或m=-

10

3

------------------------------（14分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的性质，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，确定函数解析式是关键．