Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，直线y=kx+1与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

（1）当k=时，证明：FM⊥AB；
（2）若过点M作y轴的垂线，垂足为P，点A关于y轴的对称点为Q，求证：P，Q，B三点共线。

Answer 1

解：（1）F（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y= kx+1代入抛物线x²=4y得x²-4ky-4=0
∴当k=时，
∵抛物线方程为x²=4y，即
∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是

∴两条切线的交点M的坐标为
∴
故FM⊥AB。
（2）由上可知
且 Q（-x₁， y₁），
P的坐标为
而
因为x₂（y₁+1） +x₁（y₂+1）=2kx₁x₂+2（x₁+x₂）=-8k+8k=0
所以
从而P，Q，B三点共线。