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    设是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

    （Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由

    （Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：“若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根

    解：（Ⅰ）因为，                    

    所以，满足条件，             

    又因为当时，，所以方程有实数根.

    所以函数是集合中的元素.           

    （Ⅱ）假设方程存在两个实数根（），

    则，，                      

    不妨设，根据题意存在实数，

    使得等式成立，            

    因为，所以，

    与已知矛盾，所以方程只有一个实数根

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
    （Ⅰ）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判断g（x）的单调性（f（x）∈M）；
    （Ⅲ）设x1＜x2，证明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
    （1）判断函数f(x)=
    x
    3
    +
    cosx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （2）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
    （3）设
    1
    5
    是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
    （I）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江西模拟）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
    （1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；
    （2）判断函数g（x）=
    x
    2
    -
    lnx
    2
    +3(x＞1)    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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