Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（1）判断函数f(x)=

x

3

+

cosx

4

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（3）设

1

5

是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）判定函数f(x)=

x

3

+

cosx

4

是否满足：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（2）证明只有一个的问题，可利用反正法进行证明，假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），然后寻找矛盾，从而肯定结论．
（3）构造f（x）-x，研究函数f（x）-x的单调性，从而得到|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，再利用绝对值不等式即可证得．

解答：解：（I）因为f′(x)=

1

3

-

sinx

4

，所以f′（x）∈[

1

12

，

7

12

]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又因为当x=0时，f（0）-0=1＞0，f（π）-π=-1-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f(x)=

x

3

+

cosx

4

是的集合M中的元素．（3分）
（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，
与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）
（III）不妨设x₂＜x₃，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃，
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，
即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2（14分）

点评：本题考查了导数的运算，反证法，以及不等式的证明，是一道函数综合问题，有一定难度，可作为考试的压轴题．