Question

12．已知函数g（x）=$\frac{p+x}{x-2}$，且函数f（x）=log_ag（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．
（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；
（2）当x∈（r，a-3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；
（3）设h（x）=$\sqrt{（x-2）g（x）}$-m（x+2）-2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），进而可得g（x）g（-x）=1，解得p=2，再讨论a＞1，0＜a＜1，结合复合函数的单调性可得f（x）的单调性；
（2）由题设x∈（r，a-3）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值；
（3）实际上是根的存在性问题，可以通过等价转化求解，结合换元法和二次函数的值域求法，即可得到m的值．

解答 解：（1）函数g（x）=$\frac{p+x}{x-2}$，且函数f（x）=log_ag（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数，
可得f（-x）=-f（x），
即log_a$\frac{p-x}{-x-2}$=-log_a$\frac{p+x}{x-2}$，
可得$\frac{p+x}{x-2}$•$\frac{p-x}{-x-2}$=1，
即p²-x²=4-x²，
即p²=4，解得p=2（-2舍去），
即有f（x）=log_a$\frac{x+2}{x-2}$，
当a＞1时，f（x）在（2，+∞），（-∞，-2）递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（2，+∞），（-∞，-2）递增．
（2）由（1）得f（x）=log_a$\frac{x+2}{x-2}$，
函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）
又$\frac{x+2}{x-2}$≠1，得f（x）∈（-∞，0）∪（0，+∞），
令f（x）=1，则log_a$\frac{x+2}{x-2}$=1，解得x=$\frac{2+2a}{a-1}$．
所以：f（$\frac{2+2a}{a-1}$）=1，
当a＞1时，$\frac{2+2a}{a-1}$＞2，此时f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．
所以：当x∈（2，$\frac{2+2a}{a-1}$）时，得f（x）∈1，+∞）；
由题意：r=2，那么a-3=$\frac{2+2a}{a-1}$，解得：a=3+2$\sqrt{2}$．
所以：当x∈（r，a-3），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为3+2$\sqrt{2}$和2；
（3）假设h（x）=$\sqrt{（x-2）g（x）}$-m（x+2）-2即
h（x）=$\sqrt{x+2}$-m（x+2）-2，存在实数m使得函数y=h（x）有零点．
由题意可知，方程$\sqrt{2+x}$=m（x+2）+2在{x|x≥-2且x≠2}中有实数解，
令$\sqrt{2+x}$=t，则t≥0且t≠2，
问题转化为关于t的方程mt²-t+2=0①，
有非负且不等于2的实数根．
若t=0，则①为2=0，显然不成立，
故t≠0，方程①可变形为m=-2（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$，
问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，
因为t≥0且t≠2，所以$\frac{1}{t}$＞0且$\frac{1}{t}$≠$\frac{1}{2}$，
所以m=-2（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$∈（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$]，
所以实数m的取值范围是（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$]．

点评 本题主要考查了函数的单调性以及根的存在性问题，比较复杂，但解题方法均为基本方法，要求掌握．