Question

4．如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为$\sqrt{3}$的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角．
（1）证明：AC⊥BO₁；
（2）求二面角O-AC-O₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，从而OA⊥OB，进而推导出OC⊥BO₁，由此能证明AC⊥BO₁．
（2）推导出BO₁⊥平面AOC，设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F，则∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角，由此能求出二面角O-AC-O₁的余弦值．

解答 证明：（1）由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB
从而AO⊥平面OBCO₁，
OC是AC在面OBCO₁内的射影
因为tan∠OO₁A=$\frac{OB}{O{O}_{1}}$=$\sqrt{3}$，tan∠O₁OC=$\frac{{O}_{1}C}{O{O}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，
从而OC⊥BO₁
由三垂线定理得AC⊥BO₁．
解：（2）由（1）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC
设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F（如图），
则EF是O₁F在平面AOC 内的射影，
由三垂线定理得O₁F⊥AC
所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角
由题设知OA=3，OO₁=$\sqrt{3}$，O₁C=1，
所以${O}_{1}A=\sqrt{O{A}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{{O}_{1}{A}^{2}+{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
从而${O}_{1}F=\frac{{O}_{1}A•{O}_{1}C}{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，
又O₁E=OO₁•sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以sin∠O₁FE=$\frac{{O}_{1}E}{{O}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
cos∠O₁FE=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{13}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴二面角O-AC-O₁的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．