Question

已知点F₁、F₂分别为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若

|PF2|2 |PF1|

的最小值为9a，则这个双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用双曲线的定义可得|PF₂|=|PF₁|+2a，令|PF₁|=t（t≥c-a），则

|PF2|2 |PF1|

=

(t+2a)2

t

=

t2+4ta+4a2

t

=t+

4a2

t

+4a，先运用基本不等式检验等号成立的条件，再由单调性求得最小值，即可得到离心率．

解答： 解：由P为双曲线左支上的任意一点，
则|PF₂|-|PF₁|=2a，
即有|PF₂|=|PF₁|+2a，
令|PF₁|=t（t≥c-a），
则

|PF2|2 |PF1|

=

(t+2a)2

t

=

t2+4ta+4a2

t

=t+

4a2

t

+4a，
若t+

4a2

t

+4a≥2

t• 4a2 t

+4a=8a，
当且仅当t=2a时，取最小值8a，则由题意可得，c-a≤2a，即有c≤3a．
故[c-a，+∞）是增区间，即有c-a+

4a2

c-a

+4a=9a，
化简得，10a²-7ac+c²=0，
解得c=2a（舍去）或c=5a．
则离心率为e=

c

a

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查双曲线的方程、定义和性质，考查离心率的求法，同时求函数的最值，注意运用函数的单调性，属于中档题．