Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：x2=4y的焦点F是椭圆 （a＞b＞0）的一个顶点．过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于另一点D，交抛物线E于A、B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C于P、Q两点，记直线OM的斜率为k'，满足 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△PDF的面积为S1 ， △QAB的面积为S2 ， 设 ，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可设直线l的方程为y=kx+1，

联立 ，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0．

解得： ， ．

∴M（ ， ），则k′= ，

由 ，得 ．

∴a2=4．

则椭圆C的方程为

（2）解：由（1），知点D的坐标为（ ），又F（0，1），

∴|DF|= ．

由 ，得x2﹣4kx﹣4=0．

△=16k2+16＞0恒成立．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

因此 = ．

由题意，直线OM的方程为y=﹣ ．

由 ，得（1+4k2）x2﹣16k2=0．

显然，△=﹣4（1+4k2）（﹣16k2）＞0恒成立，且x= ．

不妨设 ，则 ．

∴点P的坐标为（ ），而点Q的坐标为（ ）．

点P到直线kx﹣y+1=0的距离 ，

点Q到直线kx﹣y+1=0的距离 ．

∴ = ．

= = ．

∴S1S2= = ．

∵ ，

∴ = = ．

当且仅当3k2=k2+1，即k= 时，等号成立．

∴实数λ的最大值为 ，λ取最大值时的直线方程为 ．

【解析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；（2）由（1），知点D的坐标为（ ），又F（0，1），可得|DF|．由 ，利用弦长公式求得|AB|．求出直线OM的方程为y=﹣ ．由 ，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣y+1=0的距离 ，点Q到直线kx﹣y+1=0的距离 ．代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．