Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND． （Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°， ∴AH⊥BC，又BC∥AD，
∴AD⊥AH．
取BC的中点H，以A为原点，以AD，AH，AS为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：
则D（4，0，0），M（0，0，1），S（0，0，4），B（﹣2，2 ，0），C（2，2 ，0）．
∴ =（2，﹣2 ，0）， =（﹣4，0，4）， =（﹣6，2 ，0）， =（﹣4，0，1），
∴ = =（﹣ ，0， ）， = =（ ，﹣2 ， ），
设平面BDM的法向量为 =（x，y，z），则 ，
∴ ，令x=1得 =（1， ，4）．
∴ = ﹣2 × + =0．
又∵CN平面BDM，
∴CN∥平面BDM．
（II） =﹣4+0+16=12，
| |= =4 ，| |= =2 ，
∴cos＜ ＞= = ．
∴直线SD与平面BDM所成的角的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取BC的中点H，以A为原点，以AD，AH，AS为坐标轴建立空间直角坐标系，求出 和平面BDM的法向量 的坐标，利用数量积证明 ⊥ 即可得出结论；（Ⅱ）通过计算cos＜ ， ＞即可得出直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．