Question

9．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为R上的奇函数，解不等式：f^-1（x）＜1．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，求出a，以及函数的反函数，解不等式即可．

解答 解：函数的定义域为（-∞，+∞），
∵f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=a-1=0，即a=1，
则f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
则2^x+1＞1，0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，-2＜-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜0，
则，-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1，即-1＜y＜1，
由y=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$得$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=1-y，
则$\frac{2}{1-y}$=2^x+1，即2^x=$\frac{2}{1-y}$-1，
即x=log₂（$\frac{2}{1-y}$-1），
即f^-1（x）=log₂（$\frac{2}{1-x}$-1），（-1＜x＜1），
由f^-1（x）＜1．得log₂（$\frac{2}{1-x}$-1）＜1．
即0＜$\frac{2}{1-x}$-1＜2，
即1＜$\frac{2}{1-x}$＜3，
则1-x＞0且$\frac{1}{3}$＜$\frac{1-x}{2}$＜1，
即x＜1且$\frac{1}{3}$＜x＜1，
即$\frac{1}{3}$＜x＜1，
即不等式的解集为（$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题主要考查不等式的求解以及反函数的应用，根据函数奇偶性的性质求出a的值是解决本题的关键．