Question

19．设x，y∈R⁺，且x+y=1，求$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值，并指出此时x，y的取值．

Answer 1

分析 整体代入可得$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（x+y）=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，且x+y=1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（x+y）
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$时取等号，
结合x+y=1可得x=$\sqrt{2}$-1且y=2-$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．