Question

正方体，的棱长为1，为的中点，则下列五个命题：
①点到平面，的距离为
②直线与平面，所成的角等于
③空间四边形，在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是
④与所成的角
⑤二面角的大小为 
其中真命题是                     。（写出所有真命题的序号）

Answer 1

②③④

这道题目显然考查的是我们对于立体几何的理解及相关知识点的运用。这其实也是一种较为平常的题型即五选三题型。一看到这种类型，我们应该在初读题干之后，从选项入手。下面就每一个选项具体进行具体分析：①考查点到面的距离，很明智的解决办法是试图在我们可见的方位上找出过点的一条垂直于面的直线，很简单地我们发现（为正方体的中心）是一条符合要求的直线，所以距离为面对角线长的一半即，假；②考查直线与面的夹角，显然直线与面有交点，再从侧面看显然直线与面的夹角为，真；③考查空间上的面射影，按照射影的规律我们依次得到空间四边形的前后射影、左右射影均为直角边长为1的直角三角形，上下射影为边长为1的正方形，故最小射影的面积为，真；④考查空间中的直线夹角，显然采取平移的办法将移到面上，则由余弦定理知两直线夹角的余弦值为（计算时将边长扩大了一倍计算更为方便）则夹角为，真；⑤考查二面角，显然是体对角线，、两点关于面对称，则将问题简化为点与面的夹角两倍的求解，再将问题从空间简化到平面上来，则夹角的正切值为（同样将数据扩大了一倍）则有所求二面角为，不等于，假。综上，正确答案是②③④。