Question

【题目】已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) y＝－2.

(2) [0,8]．

【解析】分析：（1）求出导函数，可得切线斜率，切线方程为，化简即可；

（2）若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，说明函数是上的增函数，从而在上恒成立，再利用二次函数的性质可得的范围.

详解： (1)a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f(1)＝－2，∴f ′(x)＝2x－3＋，

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f ′(1)＝0；

所以在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝－2；

(2)令g(x)＝f(x)＋2x＝ax2－ax＋lnx，(x＞0)；由题意知g(x)在(0，＋∞)单调递增，所以g′(x)＝2ax－a＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2ax2－ax＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立；令h(x)＝2ax2－ax＋1，(x＞0)；

则①若a＝0，h(x)＝1≥0恒成立；

②若a＜0，二次函数h(x)≥0不恒成立，舍去；

③若a＞0，二次函数h(x)≥0恒成立，只需满足最小值h()≥0，即－＋1≥0，解得0＜a≤8；

综上，a的取值范围是[0,8]．