【题目】已知函数f(x)=|x+1|﹣|x|+a.
(1)若a=0,求不等式f(x)≥x的解集;
(2)若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求a的范围;
(3)若方程f(x)=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:a=0,不等式f(x)≥x化为不等式|x+1|﹣|x|≥x.
x≤﹣1时,﹣x﹣1+x≥x,∴x≤﹣1;
﹣1<x<0时,x+1+x≥x,∴﹣1<x<0;
x≥0时,x+1﹣x≥x,∴0≤x≤1;
综上所述,不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1}
(2)解:若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,|x|﹣|x+1|≤a恒成立,
∵|x|﹣|x+1|≤|x﹣x﹣1|=1,∴a≥1
(3)解:设u(x)=|x+1|﹣|x|,y=u(x)的图象和y=x的图象如图所示.
易知y=u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位),与y=x的图象始终有3个交点,
从而﹣1<a<0.
所以实数a的取值范围为(﹣1,0)
【解析】(1)若a=0,不等式f(x)≥x化为不等式|x+1|﹣|x|≥x,分类讨论,即可求得f(x)≥x的解集;(2)若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,|x|﹣|x+1|≤a恒成立,求出左边的最大值,即可求a的范围;(3)u(x)=|x+1|﹣|x|,做出y=u(x)和y=x的图象,方程f(x)=x恰有三个不同的实根,转化成y=u(x)与y=x的图象始终有3个交点,根据函数图象即可求得实数a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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【题目】现在颈椎病患者越来越多,甚至大学生也出现了颈椎病,年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关,某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关,在遂宁市中心医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查,得到了如下的4×4列联表:
未过度使用 | 过度使用 | 合计 | |
未患颈椎病 | 15 | 5 | 20 |
患颈椎病 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 25 | 25 | 50 |
(1)是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关?
(2)已知在患有颈锥病的10名未过度使用电子产品的大学生中,有3名大学生又患有肠胃炎,现在从上述的10名大学生中,抽取3名大学生进行其他方面的排查,记选出患肠胃炎的学生人数为,求
的分布列及数学期望.
参考数据与公式:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知下列命题:
①在线性回归模型中,相关指数越接近于1,表示回归效果越好;
②两个变量相关性越强,则相关系数r就越接近于1;
③在回归直线方程中,当解释变量
每增加一个单位时,预报变量
平均减少0.5个单位;
④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
⑤回归直线恒过样本点的中心
,且至少过一个样本点;
⑥若的观测值满足
≥6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误. 其中正确命题的序号是__________.
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【题目】已知命题p:“x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“x0∈R,x +4x0+a=0”.若命题“p∧q”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,4]
B.(﹣∞,1)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,e)∪(4,+∞)
D.(1,+∞)
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【题目】[2019·武汉六中]袋子中有四个小球,分别写有“武、汉、军、运”四个字,从中任取一个小球,有放回抽取,直到取到“军”“运”二字就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率:利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“军、运、武、汉”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下16组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220
231 130 133 231 331 320 122 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.
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【题目】学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“作品获得一等奖”.
若这四位同学只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】给出下列命题:
①正切函数图象的对称中心是唯一的;
②若函数的图像关于直线
对称,则这样的函数
是不唯一的;
③若,
是第一象限角,且
,则
;
④若是定义在
上的奇函数,它的最小正周期是
,则
.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;
(Ⅱ)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率.
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