【题目】已知抛物线的准线方程为,点为坐标原点,不过点的直线与抛物线交于不同的两点.
(1)如果直线过点,求证: ;
(2)如果,证明:直线必过一定点,并求出该定点.
【答案】(1)见解析;(2)过定点
【解析】分析:第一问首先根据抛物线的准线,求得抛物线的方程,根据直线过的顶点,结合抛物线的对称性,得到直线的斜率一定不等于零,设出直线的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理求得两根和与两根积,之后应用向量的数量积坐标公式求得其为零,从而断定;第二问先设出直线的方程,然后与椭圆方程联立,利用数量积等于零,结合韦达定理得到其满足的关系,从而证得对应的直线过定点.
详解:(1)抛物线的准线方程为,
所以抛物线的方程为
因为直线过点,故可设直线的方程为,代入抛物线中
得,
设
则,
,
所以
所以
即
(2)设直线的方程为
代入到抛物线方程整理得
设
根据韦达定理,,
因为
即
解得, (舍去)
所以直线的方程为
所以不论为何值,直线恒过定点.
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【题目】已知定义在R上的函数f(x)=3x.
(1)若f(x)=8,求x的值;
(2)对于任意的x∈[0,2],[f(x)-3]3x+13-m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,,,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次,每次抽取张,将抽取的卡片上的数字依次记为,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,,不完全相同”的概率.
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【题目】已知命题p:“x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“x0∈R,x +4x0+a=0”.若命题“p∧q”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,4]
B.(﹣∞,1)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,e)∪(4,+∞)
D.(1,+∞)
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【题目】给出下列四个命题: ①若a<b,则a2<b2;
②若a≥b>﹣1,则 ≥ ;
③若正整数m和n满足m<n,则 ≤ ;
④若x>0,且x≠1,则lnx+ ≥2.
其中所有真命题的序号是
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【题目】已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,有f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立,求a的取值范围.
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【题目】[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管,为了了解这批产品的质量状况,检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测,将它们的内径尺寸作为质量指标值,由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图:
分组 | 频数 | 频率 |
25.05~25.15 | 2 | 0.02 |
25.15~25.25 | ||
25.25~25.35 | 18 | |
25.35~25.45 | ||
25.45~25.55 | ||
25.55~25.65 | 10 | 0.1 |
25.65~25.75 | 3 | 0.03 |
合计 | 100 | 1 |
(1)求,;
(2)根据质量标准规定:钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格,钢管尺寸在或为合格等级,钢管尺寸在为优秀等级,钢管的检测费用为0.5元/根.
(i)若从和的5件样品中随机抽取2根,求至少有一根钢管为合格的概率;
(ii)若这批钢管共有2000根,把样本的频率作为这批钢管的频率,有两种销售方案:
①对该批剩余钢管不再进行检测,所有钢管均以45元/根售出;
②对该批剩余钢管一一进行检测,不合格产品不销售,合格等级的钢管50元/根,优等钢管60元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案,并说明理由.
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