【题目】已知抛物线
的准线方程为
，点
为坐标原点，不过点的直线
与抛物线
交于不同的两点
．
（1）如果直线过点
，求证：
；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．
【答案】（1）见解析；（2）过定点
【解析】分析：第一问首先根据抛物线的准线，求得抛物线的方程，根据直线过的顶点，结合抛物线的对称性，得到直线的斜率一定不等于零，设出直线的方程
，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，之后应用向量的数量积坐标公式求得其为零，从而断定
；第二问先设出直线的方程，然后与椭圆方程联立，利用数量积等于零，结合韦达定理得到其满足的关系，从而证得对应的直线过定点.
详解：（1）抛物线
的准线方程为
，
所以抛物线
的方程为
因为直线
过点
，故可设直线的方程为，代入抛物线中
得
，
设
则
，
，
所以
所以
即
（2）设直线的方程为
代入到抛物线方程整理得 
设
根据韦达定理，
，
因为
即
解得
， （
舍去）
所以直线的方程为
所以不论
为何值，直线恒过定点．
新思维假期作业寒假吉林大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知定义在R上的函数f（x）=3x
．
（1）若f（x）=8，求x的值；
（2）对于任意的x∈[0，2]，[f（x）-3]3x+13-m≥0恒成立，求实数m的取值范围．
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【题目】（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字
，
，
，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为
，
，
.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.
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【题目】已知命题p：“x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“x0∈R，x 
+4x0+a=0”．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，4]
B.（﹣∞，1）∪（4，+∞）
C.（﹣∞，e）∪（4，+∞）
D.（1，+∞）
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【题目】给出下列四个命题： ①若a＜b，则a2＜b2；
②若a≥b＞﹣1，则 
≥ 
；
③若正整数m和n满足m＜n，则 
≤ 
；
④若x＞0，且x≠1，则lnx+ 
≥2．
其中所有真命题的序号是
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【题目】已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．
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【题目】[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：
分组 | 频数 | 频率 |
25.05～25.15 | 2 | 0.02 |
25.15～25.25 | ||
25.25～25.35 | 18 | |
25.35～25.45 | ||
25.45～25.55 | ||
25.55～25.65 | 10 | 0.1 |
25.65～25.75 | 3 | 0.03 |
合计 | 100 | 1 |
（1）求
，
；
（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管尺寸在
或
为合格等级，钢管尺寸在
为优秀等级，钢管的检测费用为0.5元/根．
（i）若从
和
的5件样品中随机抽取2根，求至少有一根钢管为合格的概率；
（ii）若这批钢管共有2000根，把样本的频率作为这批钢管的频率，有两种销售方案：
①对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以45元/根售出；
②对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．
请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．
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