Question

【题目】在正方形中， 的中点为点， 的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用折叠前后的不变量得到有关垂直关系，进而利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（Ⅱ）同（Ⅰ）证明有关线面垂直和线线垂直，进而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，交于点，交于点，连接， ，

如图所示，在正方形中， 为中点， 为中点，所以；

由于为沿着翻折而来，从而，所以面，

而在平面内，所以.

（Ⅱ）设中点为，连接，交于点，连接. 同（Ⅰ）可证，从而面面，所以；由面，可得面面，又因为面面，且面与面相交于，所以面．

设为原点，过点作轴平行于，作轴平行于， 为轴，如图所示，不妨设正方形边长为3，从而， ， ， ， ， ，

又因为，所以， ，在直角中，由勾股定理可得，

所以，即，所以可以求得面的法向量为，面的法向量为，所以可以得出法向量，则所求二面角的正弦值为．