Question

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜

5

2

x，定义数列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜

5

2

an(n=1，2，…)；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(

1

2

)n（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=

A•4n+B

2n

成立；②当n=2，3，…时，有an＜

A•4n+B

2n

成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）在已知f(x)+f-1(x)＜

5

2

x中，令x=a_n，利用函数、反函数求值知识，根据a_n=f（a_n-1）则f^-1（a_n）=a_n-1，化简整理即可证得；
（2）将（1）变形构造，得出an+1-2an＜

1

2

(an-2an-1)，即有bn＜

1

2

bn-1（n∈N^*），连续递推即可证得；
（3）先由①解得A=B=4，再用数学归纳法证明若②能同时成立，则存在，且A=B=4，否则不存在．

解答：解：（1）∵f(x)+f-1(x)＜

5

2

x，令x=a_n，∴f(an)+f-1(an)＜

5

2

an．
即an+1+a n-1＜

5

2

an．
（2）∵an+1＜

5

2

an-an-1，∴an+1-2an＜

1

2

(an-2an-1)，
即bn＜

1

2

bn-1．∵b₀=a₁-2a₀=-6，
∴bn＜

1

2

bn-1＜(

1

2

)2bn-2＜…＜(

1

2

)nb0=(-6)(

1

2

)n（n∈N^*）．
（3）由（2）可知：an+1＜2an+(-6)(

1

2

)n，
假设存在常数A和B，使得an=

A•4n+B

2n

对n=0，1成立，
则

a0=A+B=8 a1= 4A+B 2 =10

，解得A=B=4．
下面用数学归纳法证明an＜

4×4n+4

2n

对一切n≥2，n∈N成立．
1°当n=2时，由an+1+an-1＜

5

2

an，得a2＜

5

2

a1-a0=

5

2

×10-8=17=

4×42+4

22

，
∴n=2时，an＜

4×4n+4

2n

成立．
2°假设n=k（k≥2），不等式成立，即ak＜

4×4k+4

2k

，
则ak+1＜2ak+(-6)(

1

2

)k＜

8×4k+8

2k

+

-6

2k

=

8×4k+2

2k

=

4×4k+1+4

2k+1

即是说当n=k+1时，不等式也成立．
所以存在A，B，且A=B=4．

点评：本题考查反函数的概念、不等式的证明、数学归纳法的应用，考查变形转化构造、归纳推理、分析解决、计算等能力，属于难题．