Question

如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点,

(1)求证:AM∥平面BDE;

(2)求二面角A-DF-B的大小;

(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°.

                     

Answer 1

(1)证明:记AC与BD的交点为O,连结OE,

∵O,M分别是AC,EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

(2)解:在平面AFD中,过A点作AS⊥DF于点S,连结BS,

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴AS是BS在平面ADF上的射影.

由三垂线定理得BS⊥DF,

∴∠BSA是二面角ADFB的平面角.

在Rt△ASB中,AS=,AB=,

∴tan∠ASB=,∠ASB=60°.

∴二面角ADFB的大小为60°.

(3)解:设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥BC,

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,

∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF.

∴PQ⊥QF.

在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,PF=2PQ,

∵△PAQ为等腰直角三角形,

∴PQ=(2-t).

又∵△PAF为直角三角形,

∴PF=.

∴=2×(2-t).

∴t=1或t=3(舍去),

即点P是AC的中点.