Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2$\sqrt{3}$，且asinA-csinC=（a-b）sinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c+bcosA=a（4cosA+cosB），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简asinA-csinC=（a-b）sinB，
再利用余弦定理求出cosC，即可求出C的值；
（Ⅱ）利用正弦定理化简c+bcosA=a（4cosA+cosB），
再利用三角恒等变换得出sinBcosA=2sinAcosA；
讨论A=$\frac{π}{2}$和A≠$\frac{π}{2}$时，求出a、b的值，计算△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，asinA-csinC=（a-b）sinB，
∴a²-c²=（a-b）b，
∴a²+b²-c²=ab，
cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$；
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC中，c+bcosA=a（4cosA+cosB），
∴sinC+sinBcosA=sinA（4cosA+cosB），
∴sin（A+B）+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB，
∴2sinBcosA=4sinAcosA；
又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$时，cosA=0，
∵c=2$\sqrt{3}$，∴b=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=2$\sqrt{3}$；
A≠$\frac{π}{2}$时，cosA≠0，
∴sinB=2sinA，∴b=2a；
∵c=2$\sqrt{3}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2•a•2a•$\frac{1}{2}$=3a²=12，
解得a=2，
∴b=2a=4；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
综上，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换以及三角形的面积计算问题，是综合题．