Question

已知点M（-3，0），N（3，0），圆C：（x-1）²+（y-a）²=a²（a＞0），过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为

x²-

y2

8

=1（x≠±1）

．

Answer 1

分析：设圆C与直线MN相切于点A，与PM，PN相切于点B，C，则A（1，0），利用圆的切线的性质，可得||PM|-|PN||=2，利用双曲线的定义，即可求得点P的轨迹方程．

解答：解：由题意，设圆C与直线MN相切于点A，与PM，PN相切于点B，C，则A（1，0）
∴||PM|-|PN||=||MB|-|NC||=||MA|-|NA||=4-2=2
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线（除去与x轴的交点）
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
则2a=2，c=3，
∴a=1，b²=8
∴双曲线的方程为x²-

y2

8

=1（x≠±1）
故答案为：x²-

y2

8

=1（x≠±1）．

点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义是关键．